topologyR: Una Salvaguarda Basada en Topología para Imputación y Modelado de Series Temporales

De vecindarios → base → topología completa, hacia una regla de decisión clara: cuándo la continuidad global es válida — y cuándo la segmentación es obligatoria.
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Author

José Mauricio Gómez Julián

Published

September 18, 2025

1. Problema y Motivación: Una Salvaguarda Basada en Topología

Muchos flujos de trabajo saltan directamente al suavizado, imputación o estimación de tendencias globales sin verificar si los datos se comportan como un sistema conectado único. topologyR eleva la información métrica local (distancias adyacentes) a vecindarios → base → topología completa, y luego plantea una pregunta decisiva: ¿La topología inducida está conectada? Si la respuesta es sí, las suposiciones de continuidad global están respaldadas; si es no, debes segmentar y analizar los componentes por separado. Esta es la salvaguarda central y la propuesta de valor del paquete.

Concretamente, topologyR proporciona un pipeline para: (i) construir subbases/bases a partir de datos numéricos con umbrales ajustables, (ii) derivar la topología inducida y cuantificar su complejidad, (iii) ejecutar verificaciones de conectividad no dirigida/dirigida/de cobertura, y (iv) explorar cómo las elecciones de umbral cambian la estructura.

2. Definiciones Formales

Espacio topológico. Dado un conjunto \(X\), una topología \(\tau\) sobre \(X\) es una familia de subconjuntos (los conjuntos abiertos) que contiene \(\emptyset\) y \(X\) y está cerrada bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas; \((X,\tau)\) es un espacio topológico.

Base y subbase (intuitivo). A partir de los datos, formamos vecindarios bajo un umbral \(\tau\) (¡no la topología!), tomamos intersecciones finitas para formar una base, y a partir de uniones de elementos de la base obtenemos la topología completa. En topologyR esto se hace explícitamente desde un vector numérico.

Conectividad (β₀). Estudiamos si la topología inducida conecta todos los índices presentes bajo alcanzabilidad no dirigida o dirigida, o al menos cubre todos los índices (verificación manual).

3. Pipeline de topologyR: ¿Qué construye el paquete para ti?

  1. Vecindarios bajo un umbral ajustable (ej., basado en IQR)

  2. Base mediante intersecciones (incluir conjuntos vacío/completo para corrección)

  3. Topología completa a partir de la base (clausura bajo uniones/intersecciones finitas)

  4. Verificaciones de conectividad: DFS no dirigido, DFS dirigido, cobertura manual

  5. Exploración de umbrales (diferencias media/mediana, SD, IQR/factor, similar a DBSCAN) y resúmenes/gráficos de barrido de factores

Un bosquejo R compacto del algoritmo central aparece a continuación (el paquete implementa una versión robusta):

# Vecindarios bajo τ
subbase <- lapply(seq_along(x), function(i) which(abs(x - x[i]) <= τ))

# Base: incluir ∅ y X
base <- list(integer(0), seq_along(x))
for (i in seq_along(x)) for (j in i:length(x)) {
  S <- intersect(subbase[[i]], subbase[[j]])
  if (length(S) > 0) base <- c(base, list(S))
}
base <- unique(base)

# De la base -> topología (uniones/intersecciones finitas)
# Verificaciones de conectividad:
# is_topology_connected(topology)         # DFS no dirigido
# is_topology_connected2(topology)        # DFS dirigido (secuencial)
# is_topology_connected_manual(topology)  # cobertura 1..n

4. Innovación Clave

4.1. Revelando Invariantes Topológicos para Validar Métodos de Imputación

4.1.1. Introducción: El Problema Fundamental

A menudo asumimos continuidad global (suavizado, kriging, splines, etc.) antes de verificar si la continuidad es siquiera matemáticamente defendible. topologyR arregla esto elevando las distancias locales a una topología y leyendo invariantes (notablemente conectividad) que deciden la validez del método.

4.1.2. Fundamentos Conceptuales

4.1.2.1. La Naturaleza del Problema. Los datos secuenciales ocultan propiedades globales críticas para la elección de método: conectividad del sistema, complejidad estructural y puntos de quiebre que pueden invalidar la continuidad. Estos no son visibles solo a partir de distancias por pares.

4.1.2.2. La Solución Topológica.

  1. Proximidad métrica → relaciones de vecindario
  2. Vecindarios → subbase
  3. Intersecciones/uniones → base y topología completa
  4. Topología → invariantes (conectividad) que gobiernan la validez del método.

4.1.3. El Marco Teórico: Conectividad ⇒ Validez del Método

Caso I: Topología Conectada. Válido usar métodos continuos globales (interpolación polinomial/lineal, splines cúbicos, kriging/geoestadística, promedios móviles, kernels continuos), asumiendo muestreo/ruido adecuado.

Caso II: Topología desconectada. La continuidad global es inválida; debes cambiar a enfoques por segmentos o regímenes (imputación independiente por componente, cambio de régimen, condicional por segmento, hot-deck dentro del componente, mezclas finitas).

4.1.4. Propiedades Globales vs Locales

Las propiedades globales (medias de período completo, tendencia secular, volatilidad sistémica, estructura de ciclos, cointegración, memoria larga, sincronía neural global, tendencias climáticas centenarias, patrones de circulación) requieren conectividad; una topología desconectada invalida la imputación continua global a través del quiebre. Las propiedades locales (volatilidad de ventana corta, derivadas locales, agrupamiento local, AR(1)/AR(2) en rezagos cortos, puntos de inflexión locales, espectros de segmento corto) pueden analizarse por componente independientemente de la conectividad global.

4.1.5. Aplicaciones Críticas por Dominio

  • Econometría. Las desconexiones marcan crisis estructurales; evitar tendencias que crucen discontinuidades.
  • Medicina/Neurociencia. Las intervenciones pueden dividir regímenes; probar continuidad antes del agrupamiento longitudinal.
  • Climatología. Los eventos extremos pueden cortar la continuidad; no extrapolar tendencias a través de regímenes.

4.1.6. Regla de Decisión Fundamental

  1. Análisis globales: la conectividad es necesaria para métodos continuos.
  2. Análisis locales: usar métodos continuos dentro de cada componente.
  3. Mixto: segmentar globalmente; aplicar herramientas continuas locales dentro de cada segmento.

4.1.7. Conclusiones Sobre la Contribución Fundamental

topologyR transforma la imputación de procedimiento heurístico a matemáticamente fundamentado revelando la estructura topológica subyacente que justifica (o prohíbe) las suposiciones de continuidad antes de la aplicación — crucial en contextos de políticas, biomédicos y climáticos.

4.1.8. Posicionamiento vs TDA de Propósito General

Enfoque: series 1D, β₀ (conectividad), regla de decisión explícita. Complementa pilas PH (Ripser/GUDHI/TDAstats/scikit-TDA) para estructura multi-escala/β superior (sin regla de imputación explícita).

4.1.9. Limitaciones y Riesgos

  1. Sensibilidad de Parámetros (elección de umbral) → mitigar mediante barridos de factores; aún empírico.

  2. Muestreo/ruido puede simular (des)conexión → tratar “conectado ⇒ continuo” como prima facie.

  3. Expresividad limitada a β₀.

  4. Escalabilidad: construcciones exhaustivas pueden ser \(O(n^2)\).

4.1.10. Conclusiones Globales y Orientación Práctica

Usar topologyR como una herramienta de gobernanza pre-modelo para decisiones binarias de validez; complementar con PH para características multi-escala sutiles que no rompen la conectividad global.

4.1.11. Referencias

Alvarado, E., Beckelhymer, D., Dorrington, J., Lam, T., Majhi, S., Noory, J., Sánchez Muniz, M., & Strømmen, K. (2025). Detecting the Indian Monsoon using Topological Data Analysis (arXiv:2504.01022). https://arxiv.org/abs/2504.01022

Bauer, U. (2021). Ripser: Efficient computation of Vietoris–Rips persistence barcodes. Journal of Applied and Computational Topology, 5(3), 391–423. https://doi.org/10.1007/s41468-021-00071-5

Chung, M. K., et al. (2023). Unified topological inference for brain networks in temporal dynamics. Frontiers in Neuroscience, 17, 1140289. https://doi.org/10.3389/fnins.2023.1140289

Flammer, M., et al. (2023). Persistent homology-based classification of chaotic multivariate time series: Application to electroencephalograms. SN Computer Science, 4, 396. https://doi.org/10.1007/s42979-023-02396-7

Gidea, M. (2017). Topological data analysis of financial time series (arXiv:1703.04385). https://arxiv.org/abs/1703.04385

Guo, H., et al. (2020). Empirical study of financial crises based on topological data analysis. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 551, 124198. https://doi.org/10.1016/j.physa.2019.124198

Kang, Y., et al. (2024). High-order brain network feature extraction and characterization via persistent homology. Frontiers in Neuroscience, 18, 1378837. https://doi.org/10.3389/fnins.2024.1378837

Kelley, J. L. (2017). General topology (Dover ed.; original work published 1955). Dover Publications.

Maria, C., Boissonnat, J.-D., Glisse, M., & Yvinec, M. (2014). The GUDHI library: Simplicial complexes and persistent homology. In H. Hong & C. Yap (Eds.), Mathematical Software – ICMS 2014 (pp. 167–174). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-662-44199-2_28

Otter, N., Porter, M. A., Tillmann, U., Grindrod, P., & Harrington, H. A. (2017). A roadmap for the computation of persistent homology. EPJ Data Science, 6, 17. https://doi.org/10.1140/epjds/s13688-017-0109-5

scikit-TDA. (n.d.). scikit-TDA documentation. https://docs.scikit-tda.org/

Tralie, C., Saul, N., & Bar-On, R. (2018). ripser.py: A lean persistent homology library for Python. Journal of Open Source Software, 3(29), 925. https://doi.org/10.21105/joss.00925

Tymochko, S., et al. (2020). Using persistent homology to quantify a diurnal cycle in tropical cyclone convection. Pattern Recognition Letters, 133, 137–143. https://doi.org/10.1016/j.patrec.2020.02.003

Ver Hoef, L., et al. (2023). A primer on topological data analysis to support image segmentation and feature extraction for environmental science. AI for the Earth Systems, 2(1), e220039. https://doi.org/10.1175/AIES-D-22-0039.1

Wadhwa, R. R., Williamson, D. F. K., Dhawan, A., & Scott, J. G. (2018). TDAstats: R pipeline for computing persistent homology in topological data analysis. Journal of Open Source Software, 3(28), 860. https://doi.org/10.21105/joss.00860

Wang, Z., et al. (2023). Automatic epileptic seizure detection based on persistent homology. Computational and Mathematical Methods in Medicine, 2023, 9165842. https://doi.org/10.1155/2023/9165842

Xu, X., Gao, Y., Zhong, S., Li, P., & Wang, Y. (2021). Topological data analysis as a new tool for EEG processing. Frontiers in Neuroscience, 15, 761703. https://doi.org/10.3389/fnins.2021.761703

5. Alcance y Casos de Uso Típicos

  • Series temporales económicas y otras: regímenes de conectividad, quiebres estructurales.
  • Datos de señales/biológicos: grafos de vecindario, verificaciones de cobertura.
  • Didáctico: bases/subbases, construcción de topología, puentes grafo↔︎topología.

6. Principios de Diseño

Corrección (incluir ∅ y \(X\); rastrear cobertura), transparencia (funciones paso a paso), explorabilidad (heurísticas rápidas y visuales para selección de umbrales).

7. Enfoque Técnico: Algoritmos y Motores de Conectividad

Algoritmo Central y Métodos (DFS no dirigido; DFS secuencial dirigido; cobertura manual) como se bosqueja en §3 arriba.

Funciones de Conectividad (Internos del Paquete).

  • is_topology_connected() construye una adyacencia simétrica a partir de co-pertenencia de conjuntos y ejecuta DFS sobre elementos presentes.

  • is_topology_connected2() dirige aristas a lo largo de elementos ordenados y consecutivos dentro de cada conjunto y hace DFS desde el mínimo.

  • is_topology_connected_manual() verifica si cada índice original 1..n aparece en al menos un conjunto.

8. API de un Vistazo (Inicio Rápido)

library(topologyR)

# Vector de ejemplo pequeño
x <- c(1, 2, 3, 4, 5)

# Construir una topología completa y verificar conectividad
topo     <- complete_topology(x)
undirected <- is_topology_connected(topo$topology)
directed   <- is_topology_connected2(topo$topology)
manual     <- is_topology_connected_manual(topo$topology)

# Exploración de umbrales y barrido de factores
ths <- calculate_thresholds(x)
res <- analyze_topology_factors(x, factors = c(1, 2, 4, 8, 16))
viz <- visualize_topology_thresholds(x)  # visuales opcionales

9. Heurísticas de Umbral y Barrido de Factores

Puedes derivar τ de diferencias adyacentes media/mediana, SD, IQR / factor, o una heurística similar a DBSCAN; luego ejecutar un barrido de factor IQR (ej., 1, 2, 4, 8, 16) y rastrear tamaño de base / tamaños de conjuntos para elegir un régimen estable.

Internamente, el barrido de factores calcula \(\tau=\mathrm{IQR}(x)/f\), construye subbases, forma la base (con ∅ y \(X\)), y resume el tamaño de base y tamaños mín/máx de conjuntos por \(f\).

set.seed(1)
x <- cumsum(rnorm(200))

ths  <- calculate_thresholds(x)
resf <- analyze_topology_factors(x, factors = c(2, 4, 8, 16), plot = FALSE)

print(ths)
print(resf)

10. Rendimiento y Escalabilidad

La construcción exacta de vecindarios/base puede crecer como \(O(n^2)\); prefiere umbrales robustos + barridos de factores, y considera submuestreo más allá de \(n\) moderado. Para diagnósticos de primera pasada en datos muy grandes, usa la verificación de cobertura manual y luego refina con DFS dirigido según sea necesario.

11. Limitaciones y Notas de Validez

  • Sensibilidad de Umbral: falsas (des)conexiones si τ está mal configurado → mitigar con rejillas, pero mantener juicio del dominio.

  • Muestreo/ruido: el muestreo escaso puede simular desconexiones; las superposiciones ligeras pueden simular conexión → tratar “conectado ⇒ continuo” como prima facie, no absoluto.

  • Expresividad: énfasis en β₀; características de orden superior requieren pilas PH.

  • Suposiciones: índices secuenciales 1..n; topologías muy grandes pueden ser intensivas en memoria.

12. Ejemplo Completo: Decisión de Imputación

library(topologyR)
x <- as.numeric(AirPassengers)

# Predeterminado transparente y robusto para τ y barrido de factores ilustrativo
ths  <- calculate_thresholds(x)
res  <- analyze_topology_factors(x, factors = c(2,4,8,16), plot = FALSE)

tau  <- IQR(x)/4
topo <- complete_topology(x)  # para n pequeño; de lo contrario usar subbases con umbral

is_conn <- is_topology_connected(topo$topology)
if (is_conn) {
  message("Conectado: usando imputación continua global.")
  # ej., stats::spline(...), kriging global, suavizadores
} else {
  message("Desconectado: imputación por segmentos y modelos de régimen.")
  # dividir por componentes conectados; imputar/modelar por segmento
}

13. Posicionamiento vs. TDA de Propósito General

topologyR es una herramienta pre-modelo enfocada y orientada a decisiones para series 1D (β₀/conectividad). Para estructura multi-escala/β superior o señales de alerta temprana, complementar con Ripser/GUDHI/TDAstats/scikit-TDA.

(Fuentes externas clave listadas en la subsección de referencias 4.1.11. de la wiki de la biblioteca)

14. Instalación

remotes::install_github("IsadoreNabi/topologyR")
# o construcción local
# setwd("/path/to/topologyR"); library(devtools); library(roxygen2); document(); install()

15. Licencia y Autor

LICENCIA: Licencia MIT — ver LICENSE en el repositorio.

AUTOR: José Mauricio Gómez Julián.